среднее геометрическое
Геометрическое среднее (geometric mean) — наиболее часто используются для того, чтобы сосчитать среднее значение темпов роста, доходности и т.п. В финансах, при помощи геометрического среднего считаются средние темпы роста прибыли, выручки, доходность фондов и т.п.
Рассчитывается как корень n-й степени произведения n элементов выборки.
Геометрическое среднее формула: 
считается, что ср. геометрическое лучше подходит для описания показателя прошлой доходности, а для оценки будущих доходов больше подходит среднее арифметическое. Ср. геометрическое лучше суммирует через сложный процент доходы прошлых периодов, а ср. арифметическое дает представление о доходе за 1 период без усложнения доходностей.
среднее геометрическое ниже среднего арифмитического. Разница между ними тем больше, чем больше изменчивость наблюдений от периода к периоду.
Чтобы избежать проблем с вычисленем корная из отрицательных значений, например если в выборке есть потеря -30% портфеля за квартал, то записывать все темпы изменения стоит, прибавляя 1. Например не 23%, -30%, +35%, а — 1,23; 0,7; 1, 35.
CFA — Применение геометрических и арифметических средних в финансовом анализе
Используя концепции описательной статистики, рассмотрим, почему среднее геометрическое хорошо подходит для составления финансовых отчетов о прошлых результатах. Также рассмотрим, почему среднее арифметическое хорошо подходит для составления отчетов в перспективном контексте.
Применение геометрических средних для отчетов о прошлых результатах.
Для отчетности на основе исторических ставок доходности геометрическое среднее более привлекательно, чем среднее арифметическое, потому что оно представляет собой темп роста или ставку доходности, которую мы должны были бы получать каждый год, чтобы соответствовать фактическим, совокупным инвестиционным показателям.
Например, в упрощенном Примере (2) средней геометрической и арифметической доходности мы приобрели акцию за €100, при этом 2 года спустя она стоила также €100, а 1 год спустя — €200.
Среднее геометрическое значение доходности здесь — 0%. Очевидно, что оно представляет собой сложный темп роста (сложную процентную ставку) за двухлетний период. В частности, конечная сумма является начальной суммой, умноженной на \( (1 + R_G)^2 \). Среднее геометрическое является отличным показателем прошлых результатов.
Пример, упомянутый выше, иллюстрирует, как среднее арифметическое может исказить нашу оценку исторических показателей. В этом примере совокупная доходность за двухлетний период однозначно равна 0%. Но, при 100% доходности за первый год и -50% за второй, среднее арифметическое составляет 25%.
Как мы уже отмечали ранее, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.
Если мы хотим оценить среднюю доходность за 1 период, мы должны использовать среднее арифметическое, потому что среднее арифметическое — это среднее значение доходности за 1 период. Однако, если мы хотим оценить среднюю доходность за более чем 1 период, нам следует использовать среднюю геометрическую доходность, поскольку среднее геометрическое отражает то, как ставки доходности за период образуют совокупную доходность за несколько периодов.
Как следствие использования геометрического среднего для отчетов о доходности, полулогарифмические (англ. ‘semilogarithmic scale’), а не арифметические шкалы измерений более подходят для построения графиков прошлых результатов. В контексте отчетности об инвестиционных результатах полулогарифмический график имеет арифметическую шкалу на горизонтальной оси для времени и логарифмическую шкалу на вертикальной оси для стоимости инвестиций.
Значения на вертикальной оси отмечены в соответствии с различиями между их логарифмами.
Предположим, мы хотим представить £1, £10, £100 и £1,000 в качестве стоимости инвестиций на вертикальной оси.
Обратите внимание, что каждое последующее значение представляет 10-кратное увеличение по сравнению с предыдущим значением, и каждое из них будет равномерно отмечено на вертикальной оси, поскольку разница в их логарифмах составляет примерно 2.30. То есть:
\(\ln10 — \ln1 = \ln100 — \ln10 = \ln1,000 — \ln100 = 2.30 \)
В полулогарифмическом масштабе равные деления на вертикальной оси отражают одинаковые процентные изменения, а рост инвестиций с постоянной процентной ставкой представляет на графике прямую линию.
Кривая, изгибающаяся вверх, отражает увеличение темпов роста с течением времени.
Изгибы кривой в разных точках можно сравнивать, чтобы судить об относительных темпах роста.
Применение арифметических средних для финансовых прогнозов.
В дополнение к отчетам о прошлых результатах финансовым аналитикам необходимо прогнозировать ожидаемые премии за риск по акциям. Для этой цели лучше подходит среднее арифметическое.
Мы можем проиллюстрировать использование среднего арифметического в перспективном контексте на примере, основанном на будущих денежных потоках инвестиций. При дисконтировании будущих денежных потоков, существенная проблема связана с неопределенностью.
Предположим, что инвестор, распоряжающийся $100,000 сталкивается с равной вероятностью (50/50) 100-процентной или -50-процентной доходности, как показано на древовидной диаграмме. При 100-процентной доходности в одном периоде и -50-процентном доходе в другом, среднее геометрическое доходности составляет:
Средняя геометрическая доходность 0% дает моду или медиану дохода после двух периодов (т.е. конечный доход или доход на конец рассматриваемого периода) и, таким образом, точно предсказывает модальный или медианный конечный доход в этом примере.
Тем не менее, среднее арифметическое лучше предсказывает конечный доход. При равных шансах доходности 100% или -50% рассмотрим 4 одинаково вероятных результата в $400,000, $100,000, $100,000 и $25,000, как если бы они действительно имели место.
Средний арифметический конечный доход составил бы:
$156,250 = ($400,000 + $100,000 + $100,000 + $25,000) / 4.
Фактическая доходность составила бы 300%, 0%, 0% и -75% при средней арифметической доходности за 2 периода:
(300 + 0 + 0 -75) / 4 = 56.25%.
Это средняя арифметическая доходность предсказывает конечный доход в размере $100,000 \( \times \) 1.5625 = $156,250. Отметив, что 56.25% для двух периодов составляют 25% за период, мы должны затем дисконтировать ожидаемый конечный доход в размере $156,250 по средней арифметической ставке 25%, чтобы отразить неопределенность в денежных потоках.
- Неопределенность в денежных потоках или доходности приводит к тому, что среднее арифметическое будет больше среднего геометрического.
- Чем более неопределенны доходы, тем больше расхождение между средними арифметическими и геометрическими значениями.
- Средняя геометрическая доходность приблизительно равна средней арифметической доходности за вычетом половина дисперсии доходности.
Нулевая дисперсия или нулевая неопределенность в доходах оставляют геометрическую и арифметическую доходность примерно равными, но в условиях реальной неопределенности среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая.
Например, для номинальной годовой доходности S&P 500 с 1926 по 2012 год в Таблице 27 приведено среднее арифметическое значение 11.82% и стандартное отклонение 20.18%.
Среднее геометрическое значение этих ставок доходности составляет 9.84%. Мы можем видеть, что среднее геометрическое приблизительно равно среднему арифметическому за вычетом половины дисперсии доходности:
Средняя геометрическая
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, то есть характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х.
(5.11)
где n – число вариантов;
П – знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Средняя квадратическая и средняя кубическая
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны n кубов).
Формулы для расчета средней квадратической:
Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
(5.12)
Средняя квадратическая взвешенная
(5.13)
Формулы для расчета средней кубической аналогичны:
Средняя кубическая простая
(5.14)
Средняя кубическая взвешенная
(5.15)
Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней (
) при расчете показателей вариации.
Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).
5.5. Структурные средние.
Для изучения структуры исследуемой совокупности применяют так называемые структурные средние: моду и медиану.
Модой в статистике называют наиболее часто встречающиеся в исследуемой совокупности значение признака.
В дискретном вариационном ряду моду определяют по наибольшей частоте. По следующим данным дискретного ряда распределении определим моду:
Дневная выработка рабочего, шт 10 12 15 25 25 30
Число рабочих, имеющих
данную выработку, чел. 5 10 8 12 9 7
Просматривая частоты ряда (число рабочих), видим, что наибольшая частота-12. Она соответствует дневной выработке 20 шт. Таким образом, мода показывает, что в данной совокупности наибольшее число рабочих имеют выработку 20 шт. деталей в день.
В интервальном ряду мода определяется по формуле:
, (
где x0— нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
i — величина модального интервала;
fmo — частота модального интервала;
fmo-1 — частота интервала, предшествующего модальному;
fmo +1 — частота интервала, следующая за модальным.
Несколько иначе определяется мода для интервального вариационного ряда. В качестве примера воспользуемся данными табл. 16.
Сначала найдем модальный интервал, на который должна приходиться наибольшая частота; по условию задачи это будет интервал 100-105, так как ему соответствует наибольшая частота – 16 чел. Подставив соответствующие значения в формулу, получим:
M0= 100 + 5 *(16-3 / (16 – 3) + (16 – 8)) = 103 %/
Наибольшее число рабочих выполняют месячное задание на 103 %.
Медианой в статистике называют такое значение признака, которое расположено в середине упорядоченного ряда.
Медиана определяется по – разному для дискретного и интервального вариационного рядов. Медиана дискретного вариационного ряда, расположенного в ранжированном порядке, имеет серединное значение. Если дискретный ряд включает четное число единиц, то медиана (Ме) определяется как средняя из двух центральных значений. Медиана в интервальном ряду определяется по формуле:
где xМе — нижняя граница медианного интервала ( медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i — величина медианного интервала;
∑ f — сумма частот;
Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному
fme – частота медианного интервала.
По следующим данным дискретного ряда распределения, расположенного в ранжированном порядке (в порядке возрастания) определим медиану:
Номер по порядку рабочего….1 2 3 4 5
Стаж работы, лет …………… .7 8 9 10 11
Так как медиана имеет значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда, то для данного ряда распределения она составит 9 лет. Это значит, что половина совокупности рабочих имеет стаж работы до 9 лет, половина – более 9 лет.
Несколько сложнее определяется сложнее определяется медиана для интервального вариационного ряда (табл.16)
Распределение рабочих по проценту выполнения месячного задания
Прежде находится медианный интервал, на который должно приходиться 50% накопленных частот данного ряда, что по условию задачи 40/2=20. Сумма частот первых двух интервалов равна 19, что меньше 20. Следовательно, медианный интервал будет находиться не во второй группе, а в третьей, т.е. в пределах границ 105 — 110.
Подставим соответствующие значения в формулу:
Ме = 105 + 5 * ( (40 + 2) — 19/8 ) = 105,6 %.
Таким образом, 50% всех рабочих выполняют производственное задание менее чем на 105,6%, 50% — более чем на 105,6%.
Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выберем самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки пересечения отпускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
Медиана рассчитывается на кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно найти значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на десять, сто частей. Эти величины называются квартили, децили, перцентили.
Квартили представляют собой значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3), отделяющий ¼ с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25 % единиц совокупности будут по величине меньше Q1; 25 % будут заключены между Q1 и Q2, 25 % между Q2 и Q3, а остальные 25 % превосходят Q3. Средним квартилем Q2 является медиана.
Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:
где xq1 – нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);
xQ3 — нижняя граница интервала, содержащая верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);
i – величина интервала;
SQ1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;
SQ3 – 1 – то же для верхнего квартиля;
f Q1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;
f Q3 – то же для верхнего квартиля;
Рассмотрим на примере (табл. 17).
Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 2007 г.
Когда применять среднее геометрическое: ключевые примеры
В статистике среднее геометрическое вычисляется путем возведения произведения ряда чисел до значения, обратного общей длине ряда. Среднее геометрическое наиболее полезно, когда числа в серии не независимы друг от друга или если числа имеют тенденцию к большим колебаниям.
Применение среднего геометрического наиболее распространено в бизнесе и финансах, где оно часто используется при работе с процентами для расчета темпов роста и доходности портфеля ценных бумаг.Он также используется в некоторых индексах финансовых и фондовых рынков, таких какгеометрический индекс линии ценностиFinancial Times.
Понимание среднего геометрического
Темпы роста
Среднее геометрическое используется в финансах для расчета средних темпов роста и называется совокупным годовым темпом роста. Рассмотрим акции, которые вырастают на 10% в первый год, падают на 20% во второй год, а затем вырастают на 30% в третий год. Среднее геометрическое значение скорости роста рассчитывается следующим образом:
- ((1 + 0,1) * (1-0,2) * (1 + 0,3)) ^ (1/3) = 0,046 или 4,6% годовых.
В доходности портфеля
Среднее геометрическое обычно используется для расчета годовой доходности портфеля ценных бумаг. Рассмотрим портфель акций, который вырастает со 100 до 110 долларов в первый год, затем снижается до 80 долларов во второй год и поднимается до 150 долларов в третий год. Затем доходность портфеля рассчитывается как (150 долл. США / 100 долл. США) ^ (1/3) = 0,1447 или 14,47%.
В фондовых индексах
Среднее геометрическое также иногда используется при построении фондовых индексов.Многие из индексов Value Line, публикуемыхFinancial Times, используют среднее геометрическое. В этом типе индекса все акции имеют равный вес, независимо от их рыночной капитализации или цен. Индекс рассчитывается путем взятия среднего геометрического пропорционального изменения цены каждой акции в составе индекса.
Корни в геометрии
Среднее геометрическое было впервые концептуализировано греческим философом Пифагором Самосским и тесно связано с двумя другими классическими средствами, прославившимися им: средним арифметическим и средним гармоническим.
Среднее геометрическое также используется для наборов чисел, где значения, умноженные вместе, являются экспоненциальными. Примеры этого явления включают процентные ставки, которые могут быть привязаны к любым финансовым инвестициям, или статистические ставки при росте населения.